Question

5．Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示，其中AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，DE=3$\sqrt{3}$，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动．
（1）当Rt△DEF在起始时，求∠AMF的度数；
（2）设BC的中点的为P，当△PBM为等腰三角形时，求t的值；
（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得∠B的度数，∠DFC的度数，从而可以求得∠AME的度数；
（2）根据题意可以分两种情况，一种是DM与线段AB相交，一种是DF与AB的延长线相交，分别针对两种情况再讨论，画出相应的图形，求出相应的t的值；
（3）根据题意可以分两种情况，一种是DM与线段AB相交，一种是DF与AB的延长线相交，然后根据题意可以分别求出两种情况下S与t的函数关系式．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°，
在Rt△DEF中，∠D=30°，
∴∠DFC=60°，
∴∠FMB=∠DFC-∠B=30°，
∴∠AMF=180°-∠FMB=150°；
（2）∵BC=6，点P为线段BC的中点，
∴BP=3，
（ⅰ）若点M在线段AB上，
①当PB=PM时，PB=PM=3，
∵DE=3$\sqrt{3}$，∠D=30°，
∴EF=DE•tan30°=3，
∴此时t=0；
②如右图（1）所示
当BP=BM时，BP=BM=3，
∵∠B=30°，∠DFE=60°，
∴∠FMB=30°，
∴△BMF为等腰三角形．
过点F作FH⊥MB于H，则BH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{3}{2}$，
 在Rt△BHF中，∠B=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴t=3-$\sqrt{3}$；
③如右图（2）所示，
当MP=MB时，∠MPB=∠B=30
∵∠MFP=60°，
∴PM⊥MF，∠BMF=30°
∴FB=FM，
设FB=x，则FM=x，PF=2x．
∴3x=3，x=1
∴t=2；
（ⅱ）若点M在射线AB上，
如右图（3）所示，
∵∠PBM=150°
∴当△PBM为等腰三角形时，有BP=BM=3
∵△BFM为等腰三角形，
∴过点F作FH⊥BM于H，则BH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BHF中，∠FBH=30°
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴t=3+$\sqrt{3}$，
综上所述，t的值为0，3-$\sqrt{3}$，2，3+$\sqrt{3}$．
（3）当0＜t≤3时，BE=6-t，NE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t），
∴${S}_{△BEN}=\frac{1}{2}•（6-t）•\frac{\sqrt{3}}{3}（6-t）$=$\frac{\sqrt{3}}{6}（6-t）^{2}$，
过点F作FH⊥MB于H，如右图（1）所示，
∵FB=3-t
∴HF=$\frac{1}{2}$（3-t），HB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），MB=$\sqrt{3}$（3-t），
∴${S}_{△BMF}=\frac{1}{2}•\sqrt{3}（3-t）•\frac{1}{2}（3-t）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（3-t）^{2}$，
∴S=S_△BEN-S_△BMF=$\frac{\sqrt{3}}{6}（6-t）^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}（3-t）^{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
当3＜t≤6时，BE=6-t，NE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t），如右图（4）所示，
∴S=${S}_{△BEN}=\frac{1}{2}×（6-t）×\frac{\sqrt{3}}{3}（6-t）$=$\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}$，
由上可得，当0＜t≤3时，S=$-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
当3＜t≤6时，S=$\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}$，
即S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{15\sqrt{3}}{4}}&{0＜t≤3}\\{\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}}&{3＜t≤6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想、特殊角的三角函数值、分类讨论的数学思想解答本题．