Question

如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点B的坐标；
（2）若AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O₁，函数y=

k

x

的图象经过点O₁，求k的值（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）此题有两种解法：
解法一：连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求证Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其对应变成比例求得OB即可；
解法二：连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，过C作CE⊥OA于点E，分别求得CE、0E，设经过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b．
把点A（5，0）、C(

16

5

，

12

5

)代入上式解得即可．
（2）连接CP、CD、DP，根据OC⊥AB，D为OB上的中点，可得CD=

1

2

OB=OD，求证Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，可得PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O₁是DP的中点，圆心O1(

OP

2

，

OD

2

)，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得

AC

OA

=

OA

AB

，求得：AB、OD即可．

解答：解：（1）解法一：连接OC，
∵OA是⊙P的直径，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，OC=

OA2-AC2

=

25-9

=4，
在Rt△AOC和Rt△ABO中，
∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴

AC

CO

=

AO

OB

，即

3

4

=

5

OB

，
∴OB=

20

3

，
∴B(0，

20

3

)

解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径，
∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，
∴OC=4，
过C作CE⊥OA于点E，则：

1

2

•OA•CE=

1

2

•CA•OC，
即：

1

2

×5×CE=

1

2

×3×4，
∴CE=

12

5

，（2分）
∴OE=

OC2-CE2

=

42-( 12 5

)2=

16

5

，
∴C(

16

5

，

12

5

)，
设经过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b．
把点A（5，0）、C(

16

5

，

12

5

)代入上式得：

5k+b=0 16 5 k+b= 12 5

，
解得：

k=- 4 3 b= 20 3

，
∴y=-

4

3

x+

20

3

，
∴点B(O，

20

3

)．

（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，
∵OC⊥AB，D为OB上的中点，
∴CD=

1

2

OB=OD，
∴∠3=∠4，
又∵OP=CP，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，
∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，
∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；
由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O₁是DP的中点，圆心O1(

OP

2

，

OD

2

)，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴

AC

OA

=

OA

AB

，
求得：AB=

25

a

，在Rt△ABO中，OB=

AB2-OA2

=

5 25-a2

a

，
OD=

1

2

OB=

5 25-a2

2a

，OP=

OA

2

=

5

2

∴O1(

5

4

，

5 25-a2

4a

)，点O₁在函数y=

k

x

的图象上，
∴

5 25-a2

4a

=

4k

5

，
∴k=

25 25-a2

16a

．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数关系式，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．