题目内容

如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．
（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ；

（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN= $\text{[math]}$ ，
则PQ=QN-PN=4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x依题意，
可得：AM=3-x，S= $\text{[math]}$ AM•PQ= $\text{[math]}$ （3-x）• $\text{[math]}$ =2x- $\text{[math]}$ x²=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∵0≤x≤1
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．

∴当x=1时，S有最大值，S_最大值= $\text{[math]}$

（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM=PA，

∵PQ⊥MA，
∴四边形ABNQ是矩形，
∴QA=NB=x，
∴MQ=QA=x，
又∵DM+MQ+QA=AD
∴3x=3，即x=1
②若MP=MA，则MQ=3-2x，PQ= $\text{[math]}$ ，MP=MA=3-x
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²
∴（3-x）²=（3-2x）²+（ $\text{[math]}$ x）²，
解得：x= $\text{[math]}$ （x=0不合题意，舍去）
③若AP=AM，
由题意可得：AP= $\text{[math]}$ x，AM=3-x
∴ $\text{[math]}$ x=3-x，
解得：x= $\text{[math]}$
综上所述，当x=1，或x= $\text{[math]}$ ，或x= $\text{[math]}$ 时，△MPA是等腰三角形．
分析：（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底边AM的长为3-x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．
（3）本题要分三种情况：
①MP=PA，那么AQ=BN= $\text{[math]}$ AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．
②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不难得出AP= $\text{[math]}$ BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．
点评：本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．