Question

【题目】 如图，已知AB=4，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，要求MN，只要求出两条直角边PM、PN，而容易发现菱形产生了等腰三角形，结合题中中点，可用三线合一，我们发现PM、PN都在含有30度的直角三角形中，P是动点，我们只需设出AP的长，用未知数表示PM、PN，进而用勾股定理建立MN关于未知数的表达式，即可解决问题.

解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，

∴∠APC=120°，∠EPB=60°，

又∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，

∴∠CPM=∠APM=∠APC=60°，,∠EPN=∠EPB=30°，

∴∠MPN=∠CPM+∠EPN=60°+30°=90°，

∴

设PA=2a，则PB=4-2a，

∵,∠APM=60°，

∴在直角三角形中，，,

∴PM==a，

同理BN==2-a，

∵在直角三角形PBN中，

∴PN==（2-a），

∴===，

∴a=时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，

故答案为．