题目内容
【题目】如图，已知二次函数
(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移
个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与△ABC的外心重合，求
的取值；
（3）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．
【答案】（1）
，M（1，5）；（2）3；（3）（
，4）或（
，
）
【解析】
（1）
，则
，抛物线表达式为：
，将点
的坐标代入上式并解得：
，即可求解；
（2）直线
的中点坐标为：
，
，则线段的中垂线的函数表达式为：
，当
时，
，即外心坐标为
，即可求解；
（3）分
、
两种情况，分别求解．
解：（1），则，抛物线表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点
；
（2）点
函数的对称轴为：，则点
，点，
直线的中点坐标为：，，
则线段的中垂线的函数表达式为：，
当时，，即外心坐标为，
则二次函数图象向下平移了
个单位，
∴m的取值为3；
（3）
与
相似，且
的对应边为
，存在或，
点、
、
、
的坐标分别为：
、
、
、
，
则
，
，
，
，
①当时，如图，
则
，即
，
解得：
，
，
设点
，
则
，
，
解得：
，
，
故点
，
；
②当时，如上图右侧图，
则点
在直线
上，直线的表达式为：
，
同理可得：
，
设点
，则
，
解得：
（不合题意的值已舍去），
故点
，
；
综上，点的坐标为：
，或
，．
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