Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆.

⑴求证：AB是⊙O的切线；

⑵若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的直径.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的直径为．

【解析】

（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠BAC=，得到DF=BF=2，根据勾股定理得到AD=2，求得AE=，求到PE=AE·tan∠DAC= AE·tan∠BAC=设⊙O的半径为R，则OE=R-，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．

（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，

∵PA=PD，

∴弧AP=弧DP.

∴OP⊥AD，AE=DE.

∴∠1+∠OPA=90°.

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA.

∴∠1+∠OAP=90°.

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠1=∠2.

∴∠2+∠OAP=90°.

∴OA⊥AB.

∴直线AB与⊙O相切.

（2）连结BD，交AC于点F，如上图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴DB与AC互相垂直平分.

∵AC=8，tan∠BAC=，∠BAC=∠DAC,

∴AF=4，tan∠DAC= tan∠BAC=

∴DF=2.

∴AE=.

在Rt△PAE中，tan∠DAC= tan∠BAC=，

∴PE= PE=AE·tan∠DAC= AE·tan∠BAC=

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=.

⊙O的直径为．