Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，则AB=$\sqrt{5}+1$．

Answer 1

分析 作∠ABC的平分线交AC于D如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，则∠ABD=∠CBD=36°，所以DA=DB，易得BD=BC，则AD=BC，再证明△BCD∽△ABC，得到BC²=CD•AD，则AD²=CD•AD，根据黄金分割的定义得到点D为AC的黄金分割点，据此可得AB的长．

解答 解：如图，作∠ABC的平分线交AC于D，
∵AB=AC，且∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AD，
∴AD²=CD•AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即$\frac{2}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AC=$\sqrt{5}+1$=AB，
故答案为：$\sqrt{5}+1$．

点评 本题考查了黄金分割，解题时注意：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，线段AB的黄金分割点有两个．