Question

【题目】定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”．

理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上；

　　　　　

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，．求证：△ABC是“和美三角形”．

运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB=AC=20，求底边BC的长（画图解答）．

Answer 1

【答案】（1）如图；见解析；（2）见解析；（3）底边BC的长为或．

【解析】

（1）根据“和美三角形”的定义画出图形即可．
（2）如图②，根据定义Rt△ABC中，和美中线一定是较长直角边上的中线．根据“和美三角形”的定义证明即可．
（3）分两种情况：如图③，当腰上的中线BD=AC时，则AB=BD，过B作BE⊥AD于E．如图④，当底边上的中线AD=BC时，则AD⊥BC，且AD=2BD，分别求解即可解决问题．

（1）如图；

（2）证明：如图②，

根据定义，

Rt△ABC中，

和美中线一定是较长直角边上的中线；

取AC的中点D，连结BD，

设AC＝2x，则CD＝AD＝x，

∵ ∴，

∴，

在Rt△BCD中，

∴BD＝AC，

∴△ABC是“和美三角形”；

（3）分两种情况：

如图③，当腰上的中线BD=AC时，则AB=BD，过B作BE⊥AD于E，

∵AB=AC=20，

∴BD=20，

，

∴CE=10+5=15，

∴Rt△BDE中，，

∴Rt△BCE中，

；

如图④，当底边上的中线AD=BC时，则AD⊥BC，且AD=2BD，

设BD=x，

则，

∴，

又∵x＞0，∴，

∴．

综上所述，底边BC的长为或．