Question

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosA=$\frac{5}{6}$，D为AB上一点，且AD：BD=1：2，若BC=3$\sqrt{11}$，求CD的长．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC．先在Rt△ABC中，由cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，可设AC=5k，则AB=6k，利用勾股定理得出AB²-AC²=BC²，求出k=±3（负值舍去），那么AC=15，AB=18．再由DE∥BC，得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求出DE=$\frac{1}{3}$BC=$\sqrt{11}$，AE=$\frac{1}{3}$AC=5，CE=AC-AE=10，然后利用勾股定理得出CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{111}$．

解答 解：过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∴设AC=5k，则AB=6k，
∵AB²-AC²=BC²，
∴36k²-25k²=99，
∴k=±3（负值舍去），
∴AC=15，AB=18．
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC=$\sqrt{11}$，AE=$\frac{1}{3}$AC=5，
∴CE=AC-AE=10，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{111}$．

点评 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，勾股定理，难度适中．准确作出辅助线，构造CD为直角三角形的斜边是解题的关键．