Question

1．如图，抛物线y=x²+bx+c经过直线y=x-4与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点M为抛物线对称轴上一点，求△MBC周长的最小值；
（3）若点P为x轴下方抛物线上的一点且不与点B重合，设△PAB的面积为S，求S的取值范围，并直接写出S为整数时，△PAB的个数．

Answer 1

分析 （1）令直线y=x-4的x、y分别为0可求得点B和A的坐标，将点A、B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，最后依据配方法可求得顶点D的坐标；
（2）记AB与对称轴的交点为M，利用抛物线的对称性可求得点C的坐标，由轴对称的性质可知AM=CM，故此可知BM+CM=BM+MA，当点A、B、M在同一条直线上时MB+CM由最小值，然后依据两点间的距离公式分别求得BC与AB的长，从而可求得△MBC周长的最小值；
（3）如图2所示，当点P在y轴左侧时，过点P作PE⊥x，交直线AB与点M．设点P的坐标为（x，x²-3x-4），则点F的坐标为（x，x-4），可求得PF=x²-4x．接下来由S_△PAB=S_△PAF-S_△PFB，求得S与x的函数关系式，然后依据x的范围以及函数的增减性可确定出S的范围以及符合条件的点P的个数；如图3所示：当点P在y轴的右侧时．设点P的坐标为（x，x²-3x-4），则点F的坐标为（x，x-4），PF=-x²+4x，由S_△PAB=S_△PAF+S_△PFB可求得S与x的函数关系式，然后依据x的范围以及函数的增减性可确定出S的范围以及符合条件的点P的个数．

解答 解：（1）∵将y=0代入y=x-4得：x-4=0，解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
∵将x=0代入y=x-4得：y=-4，
∴点B的坐标为（0，-4）．
∵将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：c=-4，b=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4．
∴y=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$．
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
（2）如图1所示：记AB与对称轴的交点为M．

∵点A与点C关于直线x=$\frac{3}{2}$，
∴CM=AM，点C的坐标为（-1，0）．
∴MC+MB=AM+AC=AB．
∵BC的长度不变，
∴当MC+MB最短时，三角形的周长最小．
∴当点A、B、M在一条直线上时，△BCM的周长有最小值．
由两点间的距离公式可知BC=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-4-0）^{2}}$=$\sqrt{17}$，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴△BCM的周长=BC+CM+MB=CB+CM+MA=CB+AB=$\sqrt{17}$+4$\sqrt{2}$．
（3）①如图2所示：当点P在y轴左侧时，过点P作PE⊥x，交直线AB与点M．

设点P的坐标为（x，x²-3x-4），则点F的坐标为（x，x-4），PF=x²-3x-4-（x-4）=x²-4x．
∵S_△PAB=S_△PAF-S_△PFB=$\frac{1}{2}PF•OA$=2x²-8x．
∴S=2x²-8x（-1＜x＜0）．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{8}{2×2}$=2，
∴当-1＜x＜0时，S随x的增大而减小．
当x=-1时，S=10，当x=0时，S=0，
∴0＜S＜10，此时符合条件的点P有9个．
②如图3所示：当点P在y轴的右侧时．

设点P的坐标为（x，x²-3x-4），则点F的坐标为（x，x-4），PF=x-4-（x²-3x-4）=-x²+4x．
∵S_△PAB=S_△PAF+S_△PFB=$\frac{1}{2}PF•OA$=-2x²+8x．
∴S=-2x²+8x（0＜x＜4）．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{8}{-2×2}$=2，
∴当x=2时，S有最大值，S的最大值=8，当x=0或x=4时，S=0．
∴0＜S＜8，符合条件的点P有14个．
综上所述：S的取值范围是0＜S＜10，S为整数时，△PAB的共有23个．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、两点间的距离公式、二次函数的图象和性质，求得S与点P的横坐标x之间的函数关系式是解题的关键．