Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． 4
• C． 5
• D． $\frac{24}{5}$

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ取最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQ⊥AC、∠ACB=90°即可得出EQ∥BC，进而可得出$\frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{EQ}{BC}$，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解．

解答 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠ACD=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC=6．
∵EQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴EQ∥BC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{EQ}{BC}$，
∴EQ=$\frac{24}{5}$．
故选D．

点评 本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点P、Q的位置是解题的关键．