题目内容
13．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6，AF=4EF，求CG的值与∠AFB的度数．
他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，得到△BAF∽△HEF（如图2）．
（1）CG=3，∠AFB=90°；
参考小明思考问题的方法，解决下列问题；
（2）如图3，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AF=3EF，求$\frac{CG}{AB}$的值；
（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，BF和DE相交于点G，且AB=kAD，∠DAG=∠BAC，求出$\frac{DF}{BE}$的值（用含k的式子表示）
分析 （1）过点E作EH∥CD交BG于点H，根据正方形的性质和相似三角形的判定定理得到△EFH∽△AFB，根据相似三角形的性质得到CG=$\frac{1}{2}$AB=3；
（2）仿照（1）的解答思路计算即可；
（3）延长AG交DC于M，延长DE交AB的延长线于N，根据相似三角形的判定定理和性质定理解答．
解答 解：（1）过点E作EH∥CD交BG于点H，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{HE}{CG}$，
∵点E是边BC的中点，
∴BC=2BE，
∴CG=2HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴EH∥AB，
∴△EFH∽△AFB，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AB}$，
∵AF=4EF，
∴AB=4EH，
∴CG=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵CD=6，
∴CG=BE，
在△ABE和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCG}\\{BE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCG，
∴∠BAE=∠CBG，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AFB=90°，
故答案为：CG=3，∠AFB=90°；
（2）如图3，同（1）方法得出，CG=2HE，
同（1）的方法得出，$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AB}$，
∵AF=3EF，
∴AB=3EH，
∴EH=$\frac{1}{3}$AB，
∴CG=2EH=$\frac{2}{3}$AB，
∴$\frac{CG}{AB}$=$\frac{2}{3}$；
（3）延长AG交DC于M，延长DE交AB的延长线于N，
∵∠DAG=∠BAC，∠ADM=∠ABC，
∴△ADM∽△ABC，
∴$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=k，
∵点E是边BC的中点，
∴$\frac{DM}{BE}$=$\frac{2}{k}$，
∵DC∥AB，点E是边BC的中点，
∴AB=DC=BN，
∵DC∥AB，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DG}{GN}$，$\frac{DM}{AN}$=$\frac{DG}{GN}$，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DM}{AN}$，又AB=$\frac{1}{2}$AN，
∴DF=$\frac{1}{2}$DM，又$\frac{DM}{BE}$=$\frac{2}{k}$，
∴$\frac{DF}{BE}$=$\frac{1}{k}$．
点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）| A． | $\frac{12}{5}$ | B． | 4 | C． | 5 | D． | $\frac{24}{5}$ |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | -1 | D． | -2 |
| A． | 2与-|-2| | B． | -2与-|2| | C． | |-2|与|2| | D． | 2与-（-2） |
| A． | 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 | |
| B． | 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 | |
| C． | 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 | |
| D． | 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 |
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．| A． | 2a | B． | 0 | C． | -2a | D． | -a |