Question

已知，如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC=90°，然后根据等腰三角形的性质得AD=BD；
（2）连结OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．

解答：（1）证明：连结CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
即点D是AB的中点；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，
∵AD=BD，OC=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．