题目内容
9．（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将△EOC沿CE折叠．①如图1，当点O落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；
②如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；
（2）如图3，将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将△EOC沿CE折叠．点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T，若$\frac{AE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，求AT的长．
分析 （1）根据翻折变换的性质找出相等的线段，证明△EAD∽△DBC，根据相似三角形的性质得到成比例线段，代入求值即可；
（2）证明△EDH≌△CGH，得到DH=HG，在Rt△EDH中，根据勾股定理列出关于m、n的式子，整理得到答案；
（3）根据$\frac{AE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，得到AE=EO，证明Rt△EDH≌Rt△CGH，得到TA=TD，根据勾股定理列式求值．
解答 解：（1）由题意得，DE=OE，CD=OC=10，
在Rt△DBC中，BC=OA=8，CD=10，
由勾股定理得，BD=6，
∵∠A=∠EDC=∠B=90°，
∴△EAD∽△DBC，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{DE}{CD}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{8-AE}{10}$，
解得，AE=3，则OE=5，
∴E（0，5）；
（2）由题意得，DE=OE=n，EH=m，HG=10-m，
在△EDH和△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CGH}\\{∠DHE=∠GHC}\\{DE=GC}\end{array}\right.$，
∴△EDH≌△CGH，
∴DH=HG=10-m，
在Rt△EDH中，DE=n，EH=m，DH=10-m，
由勾股定理得m2=n2+（10-m）2，
整理得m=$\frac{1}{20}$n2+5；
（3）如图3，
连接ET，
∵$\frac{AE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，∴AE=EO，
在△EAT和△EDT中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=ED}\\{ET=ET}\end{array}\right.$，
∴Rt△EDH≌Rt△CGH，
∴TA=TD，
在Rt△TBC中，CT=10+AT，BT=10-AT，BC=10，
由勾股定理得，（10+AT）2=（10-AT）2+100，
解得AT=$\frac{5}{2}$．
点评 本题考查的是翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，灵活运用性质和定理，找准翻折变换对应的线段和角是解题的关键．
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点O、点A（2，2）和点B（4，0）三个点，连接OA、OB．得到△OAB，点E在OA边上从点O向点A匀速运动（其中点E不与点A、O重合），同时点F以相同的速度在AB边上从点A向点B运动．
如图，边长为2a的正方形EFGH在边长为6a的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为$\sqrt{17}$a．
（1）先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$-$\frac{1}{1-x}$，其中x=2015．| A． | 1.34×104 | B． | 13.4×104 | C． | 1.34×105 | D． | 0.134×106 |
如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，顺次连接四边形EFGH各边的中点得到四边形JKLM，若向正方形ABCD中随机撒一粒豆子，则它落在阴影部分的概率是（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |