题目内容
19．
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点O、点A（2，2）和点B（4，0）三个点，连接OA、OB．得到△OAB，点E在OA边上从点O向点A匀速运动（其中点E不与点A、O重合），同时点F以相同的速度在AB边上从点A向点B运动．（1）求出该抛物线的解析式．
（2）若点C是线段OB的中点，连接CE、EF、FC，如图所示；
①在点E运动的过程中，四边形AECF的面积是否会随着点E位置的改变而发生变化？如果变化请说明理由；如果不变，请求出四边形AECF的面积；
②在点E运动的过程中，点A到线段EF的距离是否存在最大值？如果存在请求出最大距离；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）把点O、A、B的坐标分别代入二次函数y=ax2+bx+c，列出关于a、b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值；
（2）①四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．如图，连接AC，通过全等三角形（△OCE≌△ACF）的性质和图中相关图形的面积间的数量关系证得结论；
②利用①中全等三角形的对应边、角相等和等腰直角三角形的判定定理得到：△CFE是等腰直角三角形，故EF=$\sqrt{2}$CE，当CE⊥OA时，即CE最小时，EF取最小值为2，S四边形AECF=2为定值，此时点A到线段EF的最大距离为1．
解答 
解：（1）把点O（0，0）、A（2，2）和点B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 4a+2b+c=2\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\\ c=0\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$．
（2）①四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．
连接AC，如图所示：∵A（2，2），B（4，0），点C是OB的中点，
∴OC=BC=AC=2，
∴∠AOC=∠ABO=45°，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
∴∠BAC=∠AOB=45°，
∵在△OCE与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}\\{∠EOC=∠FAC}\\{OE=AF}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△ACF（SAS），
∴${S_{四边形AECF}}={S_△}_{AEC}+{S_△}_{AFC}={S_△}_{AEC}+{S_△}_{OCE}={S_△}_{AOC}=\frac{1}{2}OC•AC=2$．
②∵由①知，△OCE≌△ACF，
∴EC=CF，∠ACF=∠ECO．
∵∠OCE+∠ECA=90°，
∴∠ECA+∠ACF=∠ECF=90°．
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，当CE⊥OA时，即CE最小时，EF取最小值为2，S四边形AECF=2为定值，此时点A到线段EF的最大距离为1．
点评 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，多边形的面积的求法以及等腰直角三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．
| A． | 5 | B． | 3 | C． | -2 | D． | -5 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x与双曲线y=$\frac{n}{x}$（n≠0）在第一象限的公共点是P（1，m）．小明说：“从图象上可以看出，满足3x＞$\frac{n}{x}$的x的取值范围是x＞1．”你同意他的观点吗？答：不正确．理由是x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1．
已知：△ABC．
如图，已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连接AF、CE．
某商场以每件60元的进价购进乙种T恤衫，在销售中发现这种T恤衫的销售数量y（件）与销售价格x（元）满足一次函数，其图象如图所示，同时物价部门规定售价不得低于进价且获利不得高于进价的45%．