题目内容
△ABC中，∠C=3∠A，AB=10，BC=8，则AC的长是分析：首先由∠C=3∠A，可求得sinC=sin3A=3sinA-4sin3A，又由正弦定理得：
=
，则可求得sinA的值，再由sinB=sin（A+C），求得sinB的值，再根据
=
，即可求得AC的值．
| AB |
| sinC |
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| BC |
| sinA |
解答：解：∵∠C=3∠A，
∴sinC=sin3A=3sinA-4sin3A，
由正弦定理得：
=
，
∴sinC=
∴3sinA-4sin3A=
sinA，
∵sinA≠0，
∴3-4sin2A=
=
，
∴sin2A=
，
∴sinA=
．
∴cosA=
=
．
∵sinB=sin（A+C）=sin4A=sin2×2A=2sin2Acos2A=4sinAcosA（2cos2A-1）=4×
×
×[2×（
）2-1]=（
）×
×
，
∴sinB=
．再
∵
=
，
∴AC=
=8×
÷
3，
∴AC=3．
故答案为：3．
∴sinC=sin3A=3sinA-4sin3A，
由正弦定理得：
| AB |
| sinC |
| BC |
| sinA |
∴sinC=
| AB•sinA |
| BC |
∴3sinA-4sin3A=
| AB |
| BC |
∵sinA≠0，
∴3-4sin2A=
| 10 |
| 8 |
| 5 |
| 4 |
∴sin2A=
| 7 |
| 16 |
∴sinA=
| ||
| 4 |
∴cosA=
| 1-sin2A |
| 3 |
| 4 |
∵sinB=sin（A+C）=sin4A=sin2×2A=2sin2Acos2A=4sinAcosA（2cos2A-1）=4×
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 1 |
| 8 |
∴sinB=
3
| ||
| 32 |
∵
| AC |
| sinB |
| BC |
| sinA |
∴AC=
| BC•sinB |
| sinA |
3
| ||
| 32 |
| ||
| 4 |
∴AC=3．
故答案为：3．
点评：此题考查了正弦定理的应用．注意方程思想的应用是解此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠ADE=∠B，设AD=x，AE=y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A、y=
| ||
B、y=
| ||
C、y=
| ||
D、y=
|
如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=7，点D在AC上，AD=2，