Question

18．如图，螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中OA=OA₁=A₁A₂=…=A_n-1A_n=1．AA_n表示直角三角形的斜边，S_n表示第n个三角形的面积．则：
（1）AA₁₀=$\sqrt{11}$；
（2）S_n=$\frac{1}{2}\sqrt{n}$（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）反复利用勾股定理计算出AA₁至AA₁₀这10条斜边的长即可；
（2）根据第n个直角三角形的直角边是1和$\sqrt{n}$，即可求出结果．

解答 解：（1）OA=OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=…=A₈A₉=1，
图中所示三角形全部是直角三角形，
根据勾股定理得：
AA₁=$\sqrt{2}$，AA₂=$\sqrt{3}$，AA₃=$\sqrt{4}$=2，AA₄=$\sqrt{5}$，AA₅=$\sqrt{6}$，AA₆=$\sqrt{7}$，AA₇=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，AA₈=$\sqrt{9}$=3，AA₉=$\sqrt{10}$，AA₁₀=$\sqrt{11}$；
（2）由（1）得：第n个直角三角形的直角边是1和$\sqrt{n}$，
则第n个三角形的面积S_n=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{n}$=$\frac{1}{2}\sqrt{n}$．

点评 本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解决问题的关键．