Question

18．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若AB=3，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{3π}{2}-\frac{9}{4}\sqrt{3}$
• B． $\frac{3π}{2}-\frac{9}{2}\sqrt{3}$
• C． $π-\frac{3}{4}\sqrt{3}$
• D． $π-\frac{3}{2}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，根据垂径定理求出BD，根据等边三角形性质求出∠OBC，根据勾股定理得到OB，分别求出扇形BOC和三角形OBC的面积，即可得出答案．

解答 解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
则BD=DC=$\frac{3}{2}$，∠ODB=90°，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，∠BOD=90°-30°=60°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm，∠BOC=60°+60°=120°，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积S=S_扇形BOC-S_△OBC=$\frac{120•π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=π-$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题考查了扇形面积公式，等边三角形的性质，三角形的外接圆，三角形面积，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$．