Question

【题目】如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若CD＝4，⊙O的直径为10，求BD的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD＋∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得，从而求得AF的值，进而就可求得BD的长．

（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，

∴四边形DCOF为矩形，

∴OC＝FD＝5，OF＝CD＝4．

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．

∴AF＝＝＝3，

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，

∴FB＝AF＝3．

∴BD＝DF+BF＝5+3＝8．