Question

4．如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D
（1）求证：AC²=AD•AB；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、CB于E、F，G为EF中点，求证：∠AGD=∠B；
（3）若∠ABC=30°，求四边形CEHF的面积与△ABC的面积比．

Answer 1

分析 （1）证明△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质即可期初答案．
（2）先根据AF平分∠CAB证明△CEF为等腰三角形，由三线合一定理可知CH⊥EF，从而可知A、D、G、C四点共圆，由圆周角定理即可求证∠AGD=∠B．
（3）当∠ABC=30°时，可证明四边形CEHF是菱形，从而可证明点E、H分别是AF、AB的中点，设S_△CGF=S_△CEG=S_△EGH=S_△GFH=x，从而可求出S_△FHB=S_△FHA=4x．

解答 证明：（1）∵∠A=∠A，∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
即AC²=AB•AD
（2）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∵∠CAF+∠CFA=∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFA
∴△CEF为等腰三角形
∵G为EF的中点
∴CH⊥EF
又CD⊥AB
∴A、D、G、C四点共圆，
∴∠AGD=∠ACD，
∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AGD=∠B
（3）当∠ABC=30°时，
∴∠ACD=∠ABC=30°，
∴∠DCB=∠AFH=60°
由（2）可知：CH垂直平分EF，
∴△CEF与△HEF是等腰直角三角形，
∴△CEF与△HEF是等边直角三角形，
∴四边形CEHF是菱形，
∴AE=CF=EF=CE，
∴E是AF的中点，
同理可证：H是AB的中点，
设S_△CGF=S_△CEG=S_△EGH=S_△GFH=x
则S_△AEC=2x=S_△AEH
∴S_△FHB=S_△FHA=4x
∴S_{四边形CEHF}：S_△ABC=1：3

点评 本题考查相似三角形综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，需要学生灵活运用所学知识进行解答，题目较为综合．