Question

已知关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围．

解答：（1）证明：∵△=[-（5m+1）]²-4（4m²+m）=（3m+1）²，
∵（3m+1）²是非负数，
∴△≥0．
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：解关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0得到，
x=或

5m+1±(3m+1)

2

，
∴x₁=4m+1，x₂=m．
则由题意，得

4m+1＞3 m＜8

或

4m+1＜8 m＞3

，
解得，

1

2

＜m＜8，
即m的取值范围是

1

2

＜m＜8．

点评：本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组．