Question

2．如图，B为线段AC上一动点（点B不与点A、C重合），在AC的同侧分别作等边△ABD和等边△BCE，AE与BD相交于点M，BE与CD相交于点N，连接MN．求证：（1）BM=BN；（2）MN∥AC．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质得到BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，则∠DBE=60°，再利用“SAS”可判断△ABE≌△DBC，得到∠BAE=∠BDC，然后根据“ASA”可证明△BAM≌△BDN，则根据全等三角形的性质得到BM=BN；
（2）证明△BNM为等边三角形得到∠BMN=60°，则∠BMN=∠ABM，然后根据平行线的判定方法即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠DBE=60°，
在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
在△BAM和△BDN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BDN}\\{BA=BD}\\{∠ABM=∠DBN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△BDN，
∴BM=BN；
（2）∵BM=BN，∠MBN=60°，
∴△BNM为等边三角形，
∴∠BMN=60°，
∴∠BMN=∠ABM，
∴MN∥AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质．