Question

16．如图，锐角△ABC中，CD⊥AB于D，AB=8，CD=6，E是AC边上的动点，作矩形EFGH，使H在BC边上，G在AB边上，则矩形EFGH的对角线的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 4.8
• C． 5
• D． 5.5

Answer 1

分析 如图，作辅助线，设EH=λ，DK=μ，则CK=6-μ；首先证明△CEH∽△CAB，得到$\frac{CK}{CD}=\frac{EH}{AB}$，即$\frac{6-μ}{6}=\frac{λ}{8}$，进而得到$λ=\frac{4（6-μ）}{3}$，此为解题的关键性结论；运用勾股定理列出关于μ的函数关系式，借助二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：如图，连接FH；
设EH=λ，DK=μ，
则CK=6-μ；
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥AB，△CEH∽△CAB，
∴$\frac{CK}{CD}=\frac{EH}{AB}$，即$\frac{6-μ}{6}=\frac{λ}{8}$，
∴$λ=\frac{4（6-μ）}{3}$；
∵四边形EFGH为矩形，
∴GH=DK=μ，FG=EH=λ，∠FGH=90°，
由勾股定理得：FH²=λ²+μ²
=$\frac{25}{9}{μ}^{2}-\frac{64}{3}μ+64$（0＜μ＜6），
∵a=$\frac{25}{9}＞0$，
∴当μ=$-\frac{b}{2a}$=$\frac{96}{25}$时，FH²取得最小值，
此时FH=4.8，
故选B．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、二次函数的性质等知识点及其应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质、二次函数的性质等知识点是基础，灵活运用解题是关键．