Question

18．如图，直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，a）两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E，判断四边形CBED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．

解答 解：四边形CBED是菱形．
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$过A（3，$\frac{20}{3}$），
∴k=20．
把B（-5，a）代入$y=\frac{20}{x}$，
得a=-4．
∴点B的坐标是（-5，-4）．
∵AD⊥x轴于D，
∴D（3，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，将 A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，-4）代入得：$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}=3m+n}\\{-4=-5m+n}\end{array}}\right.$
解得：$m=\frac{4}{3}，n=\frac{8}{3}$．
∴直线AB的解析式为：$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$．
∴点C的坐标是（-2，0）．
∵BE∥x轴，∴点E的坐标是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
∴ED=CD．
∴□CBED是菱形．

点评 本题考查了反比例函数综合题及菱形的判定的知识．解答此题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征．