Question

【题目】已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的负半轴交于点.

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点的坐标；

（2）点关于轴的对称点为点，当点在以为直径的半圆上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点，使，，三条之中，其中一条是另两条所夹角的角平分线？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）对称轴为直线；点的坐标为；（2）；（3）存在.点P的坐标是或.

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式可求出对称轴；根据点A与点B关于对称轴对称即可求出点B的坐标；

（2）设圆心为E，连结，求出OD的长，于是可求出点C的坐标，由A、B、C三点坐标可求出抛物线的解析式；

（3）分三种情况逐一画出图形进行计算：当平分时，点P坐标为；当平分时点P坐标为；当BD平分时，不存在这样的点P.

解：（1）对称轴为直线，

∴关于直线x=-1的对称点的坐标为.

（2）设圆心为E，连结，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∵点的坐标为，

∵，，，

∴,

把x=0，y=代入求得,

∴.

（3）分三种情况讨论：

如图1，当平分时，点即点，

如图2，当平分时，

∵,

∴,

∴,

∴

∴

∵BP平分

∴

∴，

∴

∴

∴

由点B（1，0）、可求得直线BP的解析式为，

解方程组

得,

∴点P的坐标是.

如图3，当BD平分时，点P在直线上，而直线和抛物线的两个交点、不在第一象限，所以这样的点不存在.

综上所述，点P的坐标是或.