Question

【题目】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB＜BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③)，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与CC重合)，BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的数量关系：CN2＝BN2+CD2，请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

(2)在图③中(三角板一直角边与OD重合)，试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接写出你的结论．

(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)BN2=NC2+CD2；(3)CM2+CN2=DM2+BN2，理由见解析.

【解析】

（1）连结AN，由矩形知AO=CO，∠ABN=90°，AB=CD，结合ON⊥AC得NA=NC，由∠ABN=90°知NA2=BN2+AB2，从而得证；

（2）连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN2=NC2+CD2；

（3）延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2．

（1）证明：连结AN，

∵矩形ABCD

∴AO=CO，∠ABN=90°，AB=CD，

∵ON⊥AC，

∴NA=NC，

∵∠ABN=90°，

∴NA2=BN2+AB2，

∴NC2=BN2+CD2．

（2）如图2，连接DN．

∵四边形ABCD是矩形，

∴BO=DO，∠DCN=90°，

∵ON⊥BD，

∴NB=ND，

∵∠DCN=90°，

∴ND2=NC2+CD2，

∴BN2=NC2+CD2．

（3）CM2+CN2=DM2+BN2

理由如下：延长MO交AB于E，

∵矩形ABCD，

∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD，

∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，

∴△BEO≌△DMO（ASA），

∴OE=OM，BE=DM，

∵MO⊥EM，

∴NE=NM，

∵∠ABC=∠DCB=90°，

∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，

∴CN2+CM2=BE2+BN2，

即CN2+CM2=DM2+BN2．