Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC的度数为________，点E落在_________________，容易得出BE与DE之间的数量关系为___________；
(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

60°；AB的中点处；BE=DE；BE=DE．

详解：(1)如图4，∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，∴AE=CE，
∴点E落在AB的中点处，∴AE=CE=BE=DE；
(2)如图5，猜想：BE=DE．
证明：取AB的中点F，连接EF．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等边三角形，∴AC=AF，

∵△ADE是等边三角形，
∴∠2=60°，AD=AE ，∴∠1=∠2．
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．即∠CAD=∠FAE，
在△ACD和△AFE中，，

∴△ACD≌△AFE(SAS)，∴∠ACD=∠AFE=90°，
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，∴BE=AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，∴BE=DE．