Question

12．如图．在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，CB延长线上的点．且满足∠EAF=45°，∠BAF=15°，连接EF，求证：DE-BF=EF．

Answer 1

分析 在DE上取一点G，使DG=BF，根据正方形的性质求出∠D=∠ABC=∠ABF=90°，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADG全等，根据全等三角形对应角相等可得，∠DAG=∠BAF=15°，全等三角形对应边相等可得AG=AF，然后求出∠BAE的度数以及∠GAE的度数，根据度数求出∠GAE=∠FAE=45°，再利用“边角边”证明△AFE和△AGE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GE，然后根据图形边的关系进行等量代换即可得解．

解答 证明：在DE上取一点G，使DG=BF，
在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，
在△ABF和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BF}\\{∠D=∠ABF=90°}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAF=15°，AG=AF，
∵∠EAF=45°，∠BAF=15°，
∴∠BAE=∠EAF-∠BAF=45°-15°=30°，
∴∠GAE=90°-15°-30°=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
在△AFE和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=GE，
∴EF+BF=EG+DG=DE，
∴DE-BF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，题目比较复杂，需要利用二次全等进行证明，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．