Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，若AB=5，AC=3，则△DAB的面积为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{15}{4}$
• C． 5
• D． $\frac{25}{8}$

Answer 1

分析 由勾股定理求出BC=4，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE=3，得出BE=2，设CD=ED=x，则BD=4-x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出ED，即可得出△DAB的面积．

解答 解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
作DE⊥AB于E，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AE=2，
设CD=ED=x，则BD=4-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：x²+2²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴ED=$\frac{3}{2}$，
∴△DAB的面积=$\frac{1}{2}$AB•ED=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{4}$；
故选：B．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出ED是解决问题的关键．