Question

【题目】如图1，在中，，，点分别在边上，，连接、，点为的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是________；

（2）探究证明

把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；

（3）拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图2中，延长AP到M，使得PM=PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△MCA（SAS），即可解决问题． （3）利用三角形的三边关系求出AM的取值范围，即可解决问题．

解：（1）如图1中，设PA交BE于点O．

∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB，

∴△DAC≌△EAB（SAS），

∴BE=CD，∠ACD=∠ABE，

∵∠DAC=90°，DP=PC，

∴PA=CD=PC=PD， ∴PA=BE．∠C=∠PAE，

∵∠CAP+∠BAO=90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°， ∴PA⊥BE，

故答案为：，

（2）延长交于延长到使，连接，

则，

，，，，，

又，，，

又，，

，，

，

又，

，

即

（3）∵A在平面内自由旋转,∴(2)的图形仍然可用,由已知得AC=10，CM=4，

∴10-4≤AM≤10+4，

∴6≤AM≤14，

∵AM=2AP，

∴3≤PA≤7．

∴PA的最大值为7，最小值为3．

所以：