Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．    
（1）当∠B=30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；
（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线性质得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；
（2）求出∠A=∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．

解答 解：（1）AE=EF，
理由是：∵线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，
∴DE=BE，
∵∠B=30°，
∴∠D=∠B=30°，
∴∠DEA=∠D+∠B=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=∠DEA=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF；

（2）点E是在线段AF的垂直平分线，
理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，
∴∠A=∠DFC，
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠A=∠AFE，
∴EF=AE，
∴点E是在线段AF的垂直平分线．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能熟记线段垂直平分线内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．