题目内容
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2
)，B(－2，0)．
(1)求C，D两点的坐标．
(2)求证：EF为⊙O1的切线．
(3)探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解析：
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解：(1)连接DE，∵CD是⊙O1的直径， ∴DE⊥BC， ∴四边形ADEO为矩形． ∴OE＝AD＝2，DE＝AO＝2 在等腰梯形ABCD中，DC＝AB． ∴CE＝BO＝2，CO＝4． ∴C(4，0)，D(2，2 (2)连接O1E，在⊙O1中，O1E＝O1C， ∠O1EC＝∠O1CE， 在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB． ∴O1E∥AB， 又∵EF⊥AB， ∴O1E⊥EF． ∵E在AB上， ∴EF为⊙O1的切线 (3)解法一：存在满足条件的点P． 如图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC＝PM，
在矩形OMPN中，ON＝PM， 设ON＝x，则PM＝PC＝x，CN＝4－x， tan∠ABO＝ ∴∠ABO＝60°， ∴∠PCN＝∠ABO＝60°． 在Rt△PCN中， cos∠PCN＝ 即 ∴x＝ ∴PN＝CN·tan∠PCN＝(4－ ∴满足条件的P点的坐标为( 解法二：存在满足条件的点P， 如图，在Rt△AOB中，AB＝
过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC＝PM， 在矩形OMPN中，ON＝PM， 设ON＝x，则PM＝PC＝x，CN＝4－x， ∵∠PCN＝∠ABO，∠PCN＝∠AOB＝90°． ∴△PNC∽△AOB， ∴ 解得x＝ 又由△PNC∽△AOB，得 ∴PN＝ ∴满足条件的P点的坐标为( 分析：(1)连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D两点的坐标； (2)连接O1E，由半径O1E＝O1C，得∠O1EC＝∠O1CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC＝∠DCB，故∠O1EC＝∠ABC，可证O1E∥AB，由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可； (3)存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC＝PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON＝x，则PM＝PC＝x，CN＝4－x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解． |
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25、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上任意一点，且
24、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，MB=MC吗？为什么？
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，垂足为O，过D作DE∥AC交BC的延长线于E．