Question

【题目】如图，为的直径，直线于点.点在上，分别连接，，且的延长线交于点，为的切线交于点.

（1）求证：；

（2）连接，若，，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据切线的性质得，由切线长定理可证，从而，然后根据等角的余角相等得到，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；

（2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长．

（1）证明：∵是的直径，

∴（直径所对的圆周角是），

∴，

∴，

∵是的直径，于点，

∴是的切线（经过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线），

∵是的切线，

∴（切线长定理），

∴，

∵，，

∴，∴，

∵.

（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，

根据勾股定理求得，

在和中

，

∴（两个角对应相等的两个三角形相似），

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴是的中位线，

∴（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.