Question

【题目】已知平行四边形ABCD．

（1）如图1，将ABCD绕点D逆时针旋转一定角度得到A1B1C1D，延长B1C1，分别与BC、AD的延长线交于点M、N．

①求证：∠BMB1＝∠ADA1；

②求证：B1N＝AN+C1M；

（2）如图2，将线段AD绕点D逆时针旋转，使点A的对应点A1落在BC上，将线段CD绕点D逆时针旋转到C1D的位置，AC1与A1D交于点H．若H为AC1的中点，∠ADC1+∠A1DC＝180°，A1B＝nA1C，试用含n的式子表示的值．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2n+1

【解析】

（1）①先判断出∠BMB1＝∠N，再判断出∠N＝∠ADA1，即可得出结论；

②先判断出∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，得出△DCE≌△DC1F，得出DE＝DF，进而判断出Rt△DEM≌Rt△DMF，得出∠DME＝∠DMF，进而判断出DN＝MN，即可得出结论；

（2）先判断出AT＝2DH，得出∠ADT＝∠A1DC，进而判得出△A1DC≌△ADT，得出A1C＝AT＝2DH．即可得出结论．

解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BMB1＝∠N，

由旋转知，四边形A1B1C1D是平行四边形，

∴A1D∥B1C1，

∴∠N＝∠ADA1，

∴∠BMB1＝∠ADA1；

②如图，连接DM，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥MN于F，

∴∠DEC＝∠DFC1＝90°，

显然，∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，

∴△DCE≌△DC1F（AAS），

∴DE＝DF，

∵DM＝DM，

∴Rt△DEM≌Rt△DMF（HL），

∴∠DME＝∠DMF，

又∵AN∥BM，

∴∠DME＝∠MDN，

∴∠DMN＝∠MDN，

∴DN＝MN，

又AD＝BC＝B1C1，

∴B1N＝B1C1+C1M+MN＝AD+C1M+DN＝AN+C1M；

（2）如图，延长C1D至点T，使DT＝DC1，连接AT，

∵H为AC1的中点，

∴AT＝2DH（三角形中位线定理）．

∵∠ADC1+∠A1DC＝180°，∠ADC1+∠ADT＝180°，

∴∠ADT＝∠A1DC，

由旋转知，A1D＝AD，DC＝DC1＝DT，

∴△A1DC≌△ADT（SAS），

∴A1C＝AT＝2DH．

设DH＝a，则A1C＝AT＝2a，

A1B＝nA1C＝2an，A1D＝AD＝BC＝A1B+A1C＝2an+2a，

∴A1H＝A1D﹣DH＝2an+2a﹣a＝2an+a，

∴＝2n+1．