Question

4．已知点D在△ABC的AB边上，∠ACD=∠DAC，点E在边BC上一动点．
（1）如图1，若DE平分∠BDC，求证：DE∥AC；
（2）延长CA到G，点F在ED的延长线上；
①如图2，若∠DCF=$\frac{1}{3}$∠DCA，∠FAD=$\frac{1}{3}$∠BAGM∠ADC=120°，求∠AFC的度数；
②如图3，若∠EAD=$\frac{1}{3}$∠BAG，∠BDE=$\frac{1}{3}$∠BDC，猜想∠DFA与∠DAC满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形外角的性质得出∠BDC=∠ACD+∠DAC=2∠DAC，角平分线的性质得出∠BDE=∠BAC，得出结论；
（2）①②类比（1）的方法利用三角形外角的性质和三角形的内角和得出答案即可．

解答 解：（1）∵∠ACD=∠DAC且∠BDC=∠ACD+∠DAC，
∴∠BDC=2∠DAC，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BAC，
∴DE∥AC．
（2）∵∠BAG=∠ADC+∠ACD，
∴$\frac{1}{3}$∠BAG=$\frac{1}{3}$∠ADC+$\frac{1}{3}$∠ACD，
∴∠FAG=∠FCA+$\frac{2}{3}$∠ADC且∠FAG=∠FCA+∠AFC，
∴∠AFC=80°．
（3）设∠DAC=X=∠DCA，
∴∠BDC=2X，∠BAG=180°-X，
∴∠BDE=∠FDA=$\frac{2X}{3}$，∠DAF=60°-$\frac{X}{3}$，
∴∠DFA=120°-$\frac{X}{3}$，
∴∠DFA+$\frac{1}{3}$∠DAC=120°

点评 此题考查三角形的内角和定理，外角的性质，以及角平分线的性质，综合利用基础知识解决问题．