Question

17．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，过$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$．（结果用$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$表示）

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，利用三角形法则可求得$\overrightarrow{BC}$，然后由DE∥BC，易证得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$．

点评 此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．