Question

9．如图，AB是⊙O的直径，$\widehat{CA}$=$\widehat{CD}$，CE⊥DB于E，BE=1，AB=5，求BD的长．

Answer 1

分析 作辅助线，根据在同圆或等圆中，弧相等，则弦相等得AC=CD，再利用同弧所对的圆周角相等和圆外角等于内对角得：∠ABC=∠ADC=∠CAD=∠CBE，证明△ABC∽△CBE，得比例式可求得结论．

解答 解：连接BC、AC、CD、AD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ABC=∠ADC=∠CAD=∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥DB，
∴∠ACB=∠BEC=90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∵BE=1，AB=5，
∴BC²=BE•AB=1×5=5，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-5}$=2$\sqrt{5}$，
∴CD=AC=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{CE}{2\sqrt{5}}$，
∴CE=2，
∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴BD=DE-BE=4-1=3．

点评 本题考查了圆中的有关概念，熟练掌握这些概念和性质是做好本题的关键，同时能正确作出辅助线，构建圆中的弦和圆周角，并与勾股定理相结合，利用三角形相似列比例式得出结论．