Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．已知OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点．
（1）分别写出点E、点F的坐标；
（2）过点E作ME⊥EF交x轴于点M，求点M的坐标；
（3）在线段OC上是否存在点P，使得以点P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点即可求出点E、点F的坐标；
（2）先利用相似三角形的性质求出△AEM∽△BFE，再由相似三角形的对应边成比例可求出AM的长，再根据OA=8即可求出OM的长，进而可求出M点的坐标；
（3）设P（0，n），过点P作PH⊥AB于点H，利用勾股定理可求出PF、PE、EF的长，再分PF=PE、PE=EF、PF=EF三种情况，列出方程求出n的值即可．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点，
∴E（8，3），F（4，6）； （3分）

（2）∵ME⊥EF，
∴∠BEF+∠AEM=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
又∵∠EAM=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，（5分）
∴

AM

BE

=

AE

BF

，
即

AM

3

=

3

4

，
∴AM=

9

4

，（7分）
∴OM=OA-AM=5

3

4

，
∴M（5

3

4

，0）；（9分）

（3）如图，设P（0，n），
过点P作PH⊥AB于点H，
在Rt△CPF中，PF²=CF²+CP²=4²+（6-n）²，
在Rt△EPH中，PE²=PH²+EH²=8²+（3-n）²，
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF²=25，
①当PE=PF时PE²=PF²，
即8²+（3-n）²=4²+（6-n）²，
解得n=-

7

2

（不合题意，舍去）； （10分）
②当PE=EF时PE²=EF²，
即8²+（3-n）²=25，此方程无解； （11分）
③当PF=EF时PF²=EF²，
即4²+（6-n）²=25，
解得n₁=3，n₂=9（不合题意，舍去），（12分）
综上，存在点P（0，3），此时△PEF是等腰三角形．（13分）
故答案为：E（8，3），F（4，6）； M（5

3

4

，0）；-

7

2

、3、9．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及矩形的性质，涉及面较广，难度适中．