Question

17．在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°．AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E；DF平分∠BDE，交AB于点F，FG⊥BC，垂足为点G，若AC=9，则FG=3．

Answer 1

分析 先根据∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，求得∠DAE=30°=∠B，∠ADC=∠ADE=60°，再根据DF平分∠BDE，FG⊥BC，求得FG=FE，∠EDF=30°，设FG=x，根据AB=18，列出方程求解即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠DAE=30°=∠B，∠ADC=∠ADE=60°，
又∵DF平分∠BDE，FG⊥BC，
∴FG=FE，∠EDF=30°，
设FG=x，则BF=2x，DE=$\sqrt{3}$x，AE=$\sqrt{3}$DE=3x，
∵Rt△ABC中AC=9，
∴AB=18，即2x+x+3x=18，
解得x=3，
即FG=3．
故答案为：3

点评 本题主要考查了角平分线的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，解题时注意，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．