题目内容
16．某课题小组研究如下的几个问题．（1）边长为1的等边三角形从图1位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动一周，求点P运动的路径长（直接列式计算）；
（2）边长为1的正方形从图2位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动，当正方形滚动一周时，求点P运动的路经长（直接列式计算）．
（3）请你将（1）（2）中的正多边形化成一个边长为1，边数大于4的正多边形，按（1）（2）的方式滚动一周，求其任意一个顶点运动的路径长（请写出你选的图形的名称，直接写出结果）
分析 （1）点P从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以B点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧，第二段是以（A）点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧，然后根据弧长公式计算即可；
（2）弧长是三段，第一段以对角线PB为半径，第二段以边长为半径，第三段不动，第四段以边长为半径，根据弧长公式计算后相加即可；
（3）选择正六边形，首先画出几何图形，连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2，A1A5=A1A3=$\sqrt{3}$，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以1，$\sqrt{3}$1，2，$\sqrt{3}$，1为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
解答 解：（1）∵△ABP为等边三角形，
∴∠ABP=60°，
∴△ABC每次旋转的度数为120°，
点P从开始到结束，所经过路径的长度=$\frac{120×π×1}{180}+\frac{120×π×1}{180}$=$\frac{4}{3}π$；
（2）根据勾股定理，得PB=$\sqrt{2}$．
则当正方形滚动一周时，正方形的顶点A所经过的路线的长=$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}+2×\frac{90π×1}{180}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）π；
（3）如图所示：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，
∴A6C=$\frac{1}{2}$，A1C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A1A5=A1A3=$\sqrt{3}$，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以1，$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$，1为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=$\frac{4+2\sqrt{3}}{3}π$．
点评 本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是弄清各多边形旋转一周所有可能的情况．
如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持ED⊥FD，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，有下列结论：