Question

13．一个二次函数的图象上任一点的坐标（x，y）满足方程$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y+\frac{21}{8}）^{2}}$=|y+$\frac{29}{8}$|．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若此二次函数与x轴的交点分别为A，B（A在B的左边），与y轴的交点为C，在此二次函数的图象上与x轴上分别找一点D，E（点D不同于点C），使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．求出所有满足条件的点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等式的性质，两边平方，可得答案；
（2）根据有两个角相等的三角形相似，可得△AOC∽△ACB，△ADF与△ADE总是相似，分类讨论：①若∠DAE=∠ABC，则△AOC∽△，②若∠DAE=∠BAC，则△AOC∽△AED，根据相似三角形的性质，可得关于D点横坐标的方程，根据解方程，可得D点坐标．

解答 解：（1）两边平方得，${（x-\frac{3}{2}）^2}=2y+\frac{25}{4}$
所以二次函数为$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2$．
（2）令y=0，得x²-3x-4=0．
所以x₁=-1，x₂=4，即得A（-1，0），B（4，0）．
又令x=0，得y=-2，得C（0，-2）．
因为AB²=AC²+BC²．
所以△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．
因为∠DAE不可能为直角．                                      
由题意可得，∠DAE=∠BAC或∠DAE=∠ABC．
作DE⊥x轴，E为垂足，设D（x₀，y₀），则DE=|y₀|，AE=|x₀+1|．
因为△AOC∽△ACB，而△ADF与△ADE总是相似的．
①若∠DAE=∠ABC，则△AOC∽△DEA，如图1：．
所以$\frac{AE}{OC}$=$\frac{DE}{AO}$，即$\frac{|{x}_{0}+1|}{2}$=$\frac{{|y}_{0}|}{1}$．
所以|x₀+1|•|x₀-4|=|x₀+1|．
因为x₀≠-1，所以x₀=3或5．
所以D′（3，-2）或D（5，3）．                                       
②若∠DAE=∠BAC，则△AOC∽△AED，如图2：．
所以$\frac{AE}{AO}$=$\frac{DE}{CO}$，即$\frac{{|{x_0}+1|}}{1}=\frac{{|{y_0}|}}{2}$．
所以|x₀+1|•|x₀-4|=4|x₀+1|．
因为x₀≠-1，所以x₀=0或8．
又D不同于点C，所以D″（8，18）．                               
综上所述，点D的坐标为D′（3，-2）或D（5，3）或D″（8，18）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了等式的性质，（2）利用了相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键，以防遗漏，利用有两个角相等的三角形相似，得出△AOC∽△ACB，△ADF∽△ADE，可简便运算．