Question

已知△ABC内接于⊙O，AB=

3

，AC=

2

，且⊙O的半径为1，则∠BAC=

15°或75°

．

Answer 1

分析：作OH⊥AB于H，连结OA、OC，根据垂径定理得到AH=BH=

1

2

AB=

3

2

，在Rt△AOH中，根据余弦的定义可求出∠OAH=30°，由于OA²+OC²=AC²，则△OAC为等腰直角三角形，所以∠OAC=45°，然后分类讨论：当AB和AC在OA的两侧，如图1，∠ABC=∠CAO+∠BAO；当AB和AC在OA的同侧，如图2，∠ABC=∠CAO-∠BAO．

解答：解：作OH⊥AB于H，连结OA、OC，如图，
则AH=BH=

1

2

AB=

3

2

，
在Rt△AOH中，AH=

3

2

，OA=1，
∴cos∠OAH=

AH

OA

=

3

2

，
∴∠OAH=30°，
在△OAC中，OA=OC=1，AC=

2

，
∴OA²+OC²=AC²，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
当AB和AC在OA的两侧，如图1，∠ABC=∠CAO+∠BAO=45°+30°=75°；
当AB和AC在OA的同侧，如图2，∠ABC=∠CAO-∠BAO=45°-30°=15°．
∴∠BAC为15°或75°．
故答案为15°或75°．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了特殊角的三角函数值和勾股定理的逆定理．