Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E．
（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；
（2）若∠D=45°，BC=2，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；
（2）求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC=2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．

解答：解：（1）结论：△ABE∽△DCE，（1分）
证明：在△ABE和△DCE中，
∵∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE．（3分）

（2）作⊙O的直径BF，连接CF，
∴∠F=∠D=45°，∠BCF=90°．
∴△BCF是等腰直角三角形．（4分）
∵FC=BC=2，
∴BF=2

2

．
∴OB=

2

．（5分）
∴S_⊙O=OB²•π=2π．（6分）

点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及相似三角形的判定．