题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/15/2aacb050.png)
(1)求证:AE•DE=BE•CE;
(2)连接DB,CD,若MN∥BC,试探究BD与CD的数量关系;
(3)在(2)的条件下,已知AB=6,AN=15,求AD的长.
分析:(1)连接CD,利用已知条件证明△ABE∽△CDE,由相似三角形的性质:对应边的比值相等即可证明:AE•DE=BE•CE;
(2)BD和CD的数量关系是BD=CD,根据切线的性质和平行线的性质证明,
=
即可;
(3)首先证明△ABD∽△ADN,所以可得:
=
,即AD2=AB•AN问题得解.
(2)BD和CD的数量关系是BD=CD,根据切线的性质和平行线的性质证明,
![]() |
BD |
![]() |
CD |
(3)首先证明△ABD∽△ADN,所以可得:
AB |
AD |
AD |
AN |
解答:(1)证明:∵连接CD,在⊙O中,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/25/3aa0163b.png)
∵∠ABC=∠ADC,∠1=∠3,
∴△ABE∽△CDE,
∴
=
∵AE•DE=BE•CE;
解:(2)BD=CD,
理由:连接OD、BD,
∵MN切⊙O于点D,
∴OD⊥MN,
∵MN∥BC,
∴OD⊥BC,
∴在⊙O中,
=
,
∴BD=CD;
(3)∵在⊙O中,
=
,
∴∠1=∠2,
在⊙O中,
∵∠ADB=∠4,
∵MN∥BC,
∴∠C=∠4,
∴∠ADB=∠C,
∴△ABD∽△ADN,
∴
=
,
∴AD2=AB•AN=6×15=90,
∴AD=3
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/25/3aa0163b.png)
∵∠ABC=∠ADC,∠1=∠3,
∴△ABE∽△CDE,
∴
AE |
CE |
BE |
DE |
∵AE•DE=BE•CE;
解:(2)BD=CD,
理由:连接OD、BD,
∵MN切⊙O于点D,
∴OD⊥MN,
∵MN∥BC,
∴OD⊥BC,
∴在⊙O中,
![]() |
BD |
![]() |
CD |
∴BD=CD;
(3)∵在⊙O中,
![]() |
BD |
![]() |
CD |
∴∠1=∠2,
在⊙O中,
∵∠ADB=∠4,
∵MN∥BC,
∴∠C=∠4,
∴∠ADB=∠C,
∴△ABD∽△ADN,
∴
AB |
AD |
AD |
AN |
∴AD2=AB•AN=6×15=90,
∴AD=3
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点评:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.乘积的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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