Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB=BC=4cm，AO⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA向终点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）当x为何值时，PQ⊥AC；
（3）当PQ经过圆心O时，求△PQD的面积．

Answer 1

分析：（1）因为AD经过圆心，且AD⊥BC，所以AB=AC，又因为AB=BC，可知AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形
（2）根据PB=x，CQ=2x，BC=4，可知PC=4-x要使PQ⊥AC，必须有CQ=

1

2

PC，可得2x=

1

2

（4-x），解得x=

4

5

（3）过Q作QE⊥BC于E，则CQ=2x，QE=

3

x，CE=x，根据△ABC的边长为4，可求得AD=2

3

，OD=

1

2

OA=

1

3

AD=

2

3

3

且PB=CE，BD=CD，所以PD=DE=2-x，当OD=

1

2

QE时，PQ经过圆心，即x=

4

3

，可求得S_△PQD=

1

2

•PD•QE=

8

9

3

．

解答：证明：（1）∵AD经过圆心，且AD⊥BC，
∴AB=AC
∴AB=AC又AB=BC，
∴AB=AC=BC，
即△ABC为等边三角形；

解：（2）∵PB=x，CQ=2x又BC=4，
∴PC=4-x，
要使PQ⊥AC，必须：CQ=

1

2

PC，
∴2x=

1

2

（4-x）
∴x=

4

5

（3）过Q作QE⊥BC于E，（如图）
∵∠E=90°，CQ=2x，
∴QE=

3

x，CE=x，
又∵△ABC的边长为4
∴AD=2

3

又

1

2

=

1

3

AD=

2

3

3

且PB=CE，BD=CD，
∴PD=DE=2-x，
∴OD=

1

2

QE时，PQ经过圆心
∴

2

3

3

=

1

2

3

x，
∴x=

4

3

时，PQ⊥AC．

（3）∴S_△PQD=

1

2

•PD•QE=

1

2

×（2-x）×

3

x=

1

2

×（2-

4

3

）×

3

×

4

3

=

8

9

3

．

点评：本题考查函数与圆的有关性质的综合应用，解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度，利用圆的有关性质作为相等关系求得x的值，从而求解．