Question

【题目】如图，在正方形中，对角线，相较于点，以为边向外作等边，连接，交于．

（1）如图1，若，求的长

（2）如图2，点为的延长线上一点，连接，连接且平分．求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

（1）根据正方形性质和等边三角形性质，先求出OC的长度和∠OCF的度数，然后利用勾股定理，求出OF的长度，即可求出DF.

（2）过作于，于，连接，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质就进行证明，得到边的关系和角的关系，得到，再由30度直角三角形的性质，通过等量代换，即可证明结论.

解：（1）如图，

在等边中，，，

又∵四边形是正方形，

，DC=BC，AC=BD，

∵，

∴，

∴，

，

．

在中，设，则．

∴，

；

（2）过作于，于，连接．

垂直平分．

平分

，

在和中：

在和中：

．

，

，，

又

，

，

又

即．