Question

【题目】（概念认知）：

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(，)和B(，)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝＋．

（数学理解）：

（1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝ ；②函数(0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是 ．

（2）函数(x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3．

（3）函数(x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．

（问题解决）：

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

Answer 1

【答案】（1）【数学理解】：① 3， ② (1，2) ；（2）见解析；（3）有最小值3，此时点的坐标是（2，1）；【问题解决】：（4）先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，见解析.

【解析】

（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0＋2|＋|01|＝2＋1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1x2|＋|y1y2|及点B是函数y＝2x＋4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；

（2）由条件知x＞0，根据题意得，整理得x23x＋4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）根据条件可得|x|＋|x25x＋7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．

解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0＋2|＋|01|＝2＋1＝3；

②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0x|＋|0y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x＋y＝3，

∴，

解得： x＝1，y＝2，

∴B（1，2），

（2）假设函数的图像上存在点，使.

根据题意，得.

因为，所以.

所以.

方程两边乘，得.

整理，得.

因为，

所以方程无实数根.

所以函数的图像上不存在点，使.

（3）设.

根据题意，得.

因为，又，

所以.

所以当时，有最小值3，此时点的坐标是.

（4）如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.将函数的图像沿轴正方向平移.直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为，过点作，垂足为.修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处.

理由：设过点的直线与轴相交于点.在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线与轴相交于点.因为，所以.同理.因为，所以.因此，上述方案修建的道路最短.