Question

【题目】在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接．

（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，的平分线交于点，交于点，连接．

①补全图2；

②若，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①补全图形，如图所示.见解析；②见解析．

【解析】

（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可；
（2）①根据要求画出图形即可；
②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题；

（1）解：如图1中，

在等边三角形中，

，.

∵为的中点，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴.

（2）①补全图形，如图所示.

②证明：连接.

∵平分，

∴设，

∵，

∴.

在等边三角形中，

∵为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

在中，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.