Question

4．先化简，再求值：
（1）化简$\frac{a}{{a}^{2}-4}$•$\frac{a+2}{{a}^{2}-3a}$-$\frac{1}{2-a}$，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
（2）$\frac{1}{x-1}$-$\frac{x-3}{{x}^{2}-1}$•$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}-6x+9}$，其中x²-4x-7=0．

Answer 1

分析 （1）首先把分式的分子和分母分解因式，计算乘法，然后通分计算减法即可化简，然后根据a与2、3构成△ABC的三边，以及分式有意义的条件求得a的值，再代入化简后的式子求值；
（2）首先把分式的分子和分母分解因式，计算乘法，然后通分计算减法即可化简，然后根据x²-4x-7=0求得x²-4x的值，代入求解．

解答 解：（1）原式=$\frac{a}{（a+2）（a-2）}$•$\frac{a+2}{a（a-3）}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{1}{（a-2）（a-3）}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{1-（a-3）}{（a-2）（a-3）}$
=$\frac{2-a}{（a-2）（a-3）}$
=-$\frac{1}{a-3}$．
∵a与2、3构成△ABC的三边，
∴1＜a＜5．
又∵a≠3，且a≠2．
∴a=4．
则原式=-$\frac{1}{4-3}$=-1；
（2）原式=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{x-3}{（x+1）（x-1）}$•$\frac{（x+1）^{2}}{（x-3）^{2}}$
=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{x+1}{（x-1）（x-3）}$
=$\frac{（x-3）-（x+1）}{（x-1）（x-3）}$
=$\frac{-4}{{x}^{2}-4x+3}$
=-$\frac{4}{{x}^{2}-4x+3}$．
∵x²-4x-7=0，
∴x²-4x=7，
则原式=-$\frac{4}{7+3}$=-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了分式的化简求值以及三角形的三边关系，正确对分式进行通分、约分是关键．