Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；

（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，l有最大值，l最大=；（3）t=时，△PAD的面积的最大值为；（4）t=.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值最大时，△PAD的面积最大；

（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出PK=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解决问题；

试题解析：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，

则有，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，

∴D（3，0），且A（0，3），

∴直线AD解析式为y=﹣x+3，

设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∵0＜t＜3，

∴点M在第一象限内，

∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，l有最大值，l最大=；

（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，

∴PM的值最大时，△PAD的面积中点，最大值=×=．

∴t=时，△PAD的面积的最大值为．

（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．

∵△PAD是直角三角形，

∴PK=AD，

∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，

整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，

解得t=0或3或，

∵点P在第一象限，

∴t=.